Александр Пеклушенко родился 29 августа 1954 года в городе Запорожье. После окончания школы работал фрезеровщиком на Запорожском экспериментальном заводе. В 1974-1976 гг. проходил службу в рядах Советской армии.
После армии, в 1976 году, стал заместителем директора Николаевско-Подольского рознично-торгового предприятия (село Августиновка Запорожского района Запорожской области) Запорожского областного потребительского союза. В 1977-1981 гг. заведовал филиалом комплексного питания, был директором комбината питания Запорожского облпотребсоюза. После этого был председателем правления Пологовского районного потребительского общества Запорожского областного потребительского союза.
В 1982-1986 гг. - инструктор Запорожского областного комитета Коммунистической партии Украины. А после, в 1986-2002 гг., - председатель правления Запорожского областного потребительского союза.
Высшее образование получил только в 1987 году, окончив запорожский филиал Донецкого института советской торговли по специальности "Экономика". В 2002 г. получил второе высшее образование в Гуманитарном университете "Запорожский институт государственного и муниципального управления" (сегодня Классический приватный университет) по специальности "Правоведение".
В 1998 г. возглавил Запорожское региональное отделение Либеральной партии Украины. Был кандидатом в депутаты Верховной Рады Украины от избирательного блока "Партия работы и Либеральная партия - вместе!" (№49 в избирательном списке блока). В Раду тогда Пеклушенко не попал.
Однако он стал народным депутатом в 2002 году. Был избран по мажоритарному избирательному округу №84 в Запорожской области. Был выдвинут блоком "За единую Украину!". Однако уже спустя месяц после вступления в депутатские полномочия перешел во фракцию "Регионы Украины". Член Комитета по вопросам правовой политики.
В 2004 году Пеклушенко был доверенным лицом кандидата в президенты Украины Виктора Януковича по территориальному избирательному округу №84 Запорожской области.
В 2006 году прошел в парламент от Партии регионов (№44 в партийном списке).
В 2007 году был избран депутатом Верховной Рады в третий раз и вновь от Партии регионов (снова №44 в списке). Заместитель председателя (Януковича) фракции Партии регионов в Верховной Раде Украины. Заместитель председателя Постоянной делегации Украины в Парламентской ассамблее ОБСЕ. Член президиума политсовета Партии регионов.
В Раде шестого созыва был заместителем председателя Комитета по вопросам бюджета, председателем Комитета по вопросам финансов и банковской деятельности, первым заместителем председателя Комитета по вопросам финансов, банковской деятельности, налоговой и таможенной политики.
Возглавлял ВСК по мониторингу состояния ликвидации последствий стихийного бедствия, которое произошло 23-27 июля 2008 года в Винницкой, Ивано-Франковской, Закарпатской, Львовской, Тернопольской и Черновицкой областях.
В ноябре 2011 года был назначен Януковичем главой Запорожской областной госадминистрации. Стал главой областной организации Партии регионов.
3 марта 2014 г. Александр Турчинов уволил Пеклушенко с должности главы Запорожской ОГА. В апреле тот покинул ряды Партии регионов.
Александр Пеклушенко стал одним из фигурантов дела о незаконном разгоне мирной демонстрации запорожского Евромайдана 26 января 2014 года. Он вышел к митингующим и заявил, что не сложит полномочия губернатора, а с билетом Партии регионов "жил, живет и умрет". В тот же день произошел силовой разгон запорожского Евромайдана.
12 марта 2015 года найден мертвым в поселке Солнечный на улице 8 марта. Правоохранители рассматривают версию самоубийства выстрелом в шею. Член коллегии МВД Антон Геращенко сообщил, что Пеклушенко планировалось сообщить о подозрении в разгоне местного Евромайдана. "На сегодняшний момент известно, что ему готовились предъявить подозрения как раз по вопросам совершения преступления относительно разгона Евромайдана, нанесения увечий, организации боевых групп "титушек". Я думаю, что там есть реальный повод для самоубийства или доведения до самоубийства", - отметил Геращенко.
Пеклушенко был женат, имел троих детей 1978, 1987 и 2006 годов рождения.